Kök İçindeki Sayılar Çarpılır Mı? Bir Matematik Sorusu, Bir İzmir Macerası ve Biraz Fazla Düşünen Ben
İzmir’de yaşayan 25 yaşında biri olarak hayatımın büyük bir kısmını iki şey arasında geçiriyorum: İnsanları güldürmek ve kendi kendime gereğinden fazla düşünmek. Dışarıdan bakınca “Abi bunu da mı düşünüyorsun?” dedirtecek kadar rahat bir tip gibi görünürüm. Arkadaş grubunda en saçma anda espri patlatan kişi genelde benimdir. Ama gece yatağa girince beynim küçük bir muhasebe bürosuna dönüşür.
Mesela geçen gün arkadaşlarla Kordon’da otururken konu bir anda matematiğe geldi. Normal insanlarda bu nasıl olur bilmiyorum ama bizim ekipte sohbet bazen “Deniz bugün çok güzel” cümlesinden “Acaba köklü ifadelerde çarpma nasıl yapılıyor?” noktasına ışınlanabiliyor.
Arkadaşım Mert kahvesinden bir yudum aldı ve sordu:
— Ya şu kökün içinde sayılar var ya… Onlar çarpılıyor mu?
Ben ilk anda klasik ben cevabını verdim:
— Tabii çarpılır, kökün içinde parti yapıyorlar zaten. Kendi aralarında anlaşmışlarsa kimse karışamaz.
Herkes güldü. Ben de güldüm. Ama içimde başka bir ben hemen ortaya çıktı:
“Bir dakika… Güzel espri yaptın ama gerçekten doğru mu söyledin?”
İşte benim hayatımın özeti bu. Dışarıda komedyen, içeride sürekli kontrol eden bir matematik müfettişi.
Peki gerçekten kök içindeki sayılar çarpılır mı? Gelin bu konuyu hem matematikle hem de günlük hayatın küçük komiklikleriyle anlayalım.
Kök İçindeki Sayılar Çarpılır Mı? Matematiğin En Tatlı Karışıklıklarından Biri
Merhaba! Basakozalit sayfasında bugün “Kök içindeki sayılar çarpılır mı” konusunu tüm yönleriyle ele alıyoruz.
Kareköklü ifadeler ilk öğrenildiğinde biraz gizemli görünür. İnsan ister istemez kökün içindeki sayılara bakıp “Bunlar şimdi ne yapacak?” diye düşünür. Sanki kökün içinde küçük bir apartman varmış da sayılar orada yaşıyormuş gibi gelir.
Aslında olay düşündüğümüz kadar karmaşık değildir.
Aynı dereceden köklü ifadeler çarpılırken kök içindeki sayılar birbiriyle çarpılabilir. Yani:
√a × √b = √(a × b)
şeklinde işlem yapılabilir.
Örneğin:
√2 × √3 işlemini ele alalım.
Köklerin derecesi aynı olduğu için içlerindeki sayıları çarparız:
√2 × √3 = √6
Yani sonuç √6 olur.
Bunu günlük hayattan düşünürsek, iki küçük kutuyu birleştirip tek büyük kutu yapmak gibi düşünebiliriz. İlk kutuda 2 tane, ikinci kutuda 3 tane özel paket varmış gibi düşünün. Matematik de bu paketleri bir araya getirip yeni bir düzen oluşturuyor.
Ama burada küçük bir uyarı var. Matematik bazen arkadaş ortamındaki şakalar gibi değildir; her zaman kurala bağlıdır. “Köklerin içindeki her şeyi kafama göre çarparım” derseniz matematik öğretmeni sizi uzaktan hissedebilir.
Kökler de İnsanlar Gibi: Herkes Birbiriyle Anlaşamaz
Ben gençken matematik sorularında en çok yaptığım hata şuydu: Her gördüğüm sayıyı birbirine yakıştırmak.
Bir nevi matematik çöpçatanlığı yapıyordum.
“Bu sayı bununla yan yana gelmiş, kesin çarpılır.”
Hayır.
Matematikte de ilişkiler vardır ama her ilişki sağlıklı değildir.
Mesela:
√2 × √8
ifadesinde çarpma yapabiliriz:
√(2×8) = √16
Sonuç:
4
Buraya kadar güzel.
Ama farklı derecelerde kökler varsa durum değişebilir. Karekökle küpkökü aynı torbaya koyup karıştırmak her zaman doğru olmaz.
Bu bana arkadaş grubundaki planları hatırlatıyor. Birisi sabah kahvaltısı ister, diğeri gece üçte sahile gitmek ister. İkisini aynı anda yapmaya çalışırsanız ortaya garip bir organizasyon çıkar.
Matematikte de önce şartlara bakmak gerekir.
Kök İçindeki Sayıları Çarpmak İçin Bilmemiz Gereken Basit Mantık
Kök içindeki sayıların çarpılıp çarpılamayacağını anlamanın birkaç temel noktası vardır.
1. Kök Dereceleri Aynı Olmalı
En önemli nokta budur.
Kareköklü ifadeler kendi arasında rahatça işlem görebilir.
Örneğin:
√5 × √7 = √35
Ama karekök ve küpkök gibi farklı yapılar aynı şekilde işlem görmez.
Bunu İzmir’de vapura binmeye benzetiyorum. Aynı iskeleye giden iki vapuru rahatça karşılaştırabilirsiniz. Ama biri vapur, biri otobüsse “Bunlar nasıl aynı yoldan gidecek?” diye biraz düşünmek gerekir.
2. Kök İçindeki Sayılar Çarpılır, Dışarıdaki Katsayılar da Ayrı İşlem Görür
Örneğin:
3√2 × 4√5
ifadesinde sadece kök içlerini değil, dışarıdaki sayıları da hesaba katarız.
Önce dışarıdaki sayılar:
3 × 4 = 12
Sonra kök içleri:
√2 × √5 = √10
Sonuç:
12√10
Burada sayılar sanki iki farklı ekip gibi çalışır. Dışarıdaki ekip kendi işini yapar, kökün içindeki ekip kendi işini yapar.
Bir İzmir Akşamında Kök Sorusu Nasıl Krize Dönüştü?
Geçen yaz Alsancak’ta arkadaşlarla oturuyorduk. Konu yine bir şekilde derslere geldi. Üniversitede okuyan kuzenim yanımıza geldi ve elinde matematik kitabıyla oturdu.
Kitabı açtı ve dedi:
— Şuna bakar mısınız? Ben bunu anlamıyorum.
Sayfada kareköklü bir işlem vardı.
Ben hemen özgüvenli şekilde kitabı aldım.
— Tamamdır, matematik benim eski dostumdur.
Bu cümleyi söyledikten sonra içimden başka bir ses geldi:
“Sen en son lise zamanında kökle uğraştın, emin misin?”
Ama geri dönüş yoktu. Arkadaşların önünde matematik kahramanı ilan etmiştim.
Soruyu çözerken bir yerde durdum.
— Bir dakika…
Herkes bana baktı.
— Beynim güncelleme yapıyor.
Mert kahkaha attı:
— Sen matematik çözerken bile telefon gibi bekleme ekranına geçiyorsun.
Sonra birlikte baktık ve aslında olayın çok basit olduğunu fark ettik. Kök içindeki sayılar uygun şartlarda çarpılıyordu.
O gün şunu anladım: Bazen bir konuyu zor yapan şey konu değil, bizim ona yaklaşımımız oluyor.
Kök İçindeki Sayılar Çarpılır Mı? Sorular Çözerken Yapılan Komik Hatalar
Matematikte hepimizin yaptığı bazı klasik hatalar vardır.
Benim favorim, sonucu bulduktan sonra yanlış olduğuna inanıp tekrar tekrar işlem yapmaktır.
Mesela:
“Sonuç 4 çıktı. Çok kolay oldu. Kesin yanlış.”
Sonra aynı işlemi üç kere daha yaparsın.
Üçüncü denemede yine 4 çıkar.
Dördüncüde de 4 çıkar.
Beşinci denemede artık sayıya kızarsın:
“Tamam kardeşim, 4 olduğunu kabul ettik.”
Aslında bu durum birçok öğrencinin yaşadığı bir şeydir. Çünkü matematikte bazen doğru cevap fazla kolay görünür.
Bir diğer hata da kökün dışına sayı çıkarmayı unutmaktır.
Örneğin:
√12
ifadesi sadece √12 olarak bırakılabilir ama aslında sadeleşebilir:
√12 = √(4×3)
√12 = 2√3
Bu işlemler küçük ayrıntılar gibi görünür ama sınavlarda büyük fark oluşturabilir.
Matematikle Barışmanın En Komik Yolu: Onu İnsanlaştırmak
Ben matematiği anlamaya başladığım zaman onu sadece rakamlardan oluşan soğuk bir şey gibi görmeyi bıraktım.
Çünkü aslında matematikte de karakter var.
Bazı sayılar düzenlidir.
Bazıları karmaşık görünür.
Bazıları ise ilk bakışta zor gelir ama biraz uğraşınca güzelleşir.
Kökler de böyle.
İlk gördüğümüzde:
“Bu iş zor.”
deriz.
Ama mantığını anlayınca:
“Bu kadar mıymış?”
diye şaşırırız.
Hayatta da çoğu şey böyle değil mi?
Yeni bir işe başlarken, yeni bir insan tanırken veya zor bir karar verirken kafamızda büyütürüz.
Sonra içine girince aslında çözümün birkaç basit adımdan oluştuğunu görürüz.
Kök İşlemlerini Öğrenirken Kendimize Fazla Yüklenmemek
Biz bazen matematikte hata yapınca kendimize kızıyoruz.
“Ben anlamıyorum.”
“Ben matematikçi değilim.”
“Benden olmaz.”
gibi cümleler kuruyoruz.
Ben de zamanında bunu çok yaptım.
Ama sonra fark ettim ki mesele zekâ değil, alışkanlık meselesi.
Bir konuyu ilk gördüğünde anlamamak çok normal.
İnsan ilk defa bisiklete binerken de “Ben neden iki teker üstünde duramıyorum?” diye sinirlenebilir.
Ama biraz denedikten sonra denge kurulur.
Kök içindeki sayılar çarpılır mı sorusu da aslında böyle bir konudur. Önce karışık gelir, sonra birkaç örnekle yerine oturur.
Sonuç: Köklerin İçindeki Dünya Aslında O Kadar Korkutucu Değil
Kök içindeki sayılar, uygun şartlar sağlandığında çarpılabilir. Aynı dereceden köklü ifadelerde kök içindeki sayıları birbiriyle çarparak işlemi kolaylaştırabiliriz.
Ama matematikte her zaman olduğu gibi kuralları bilmek gerekir.
Benim için bu konu sadece bir matematik kuralı değil. Aynı zamanda küçük bir hayat dersi gibi.
Çünkü bazen gözümüzde büyüttüğümüz şeyler, yakından bakınca çok daha basit çıkıyor.
Belki de hepimizin biraz kök içine bakıp ne olduğunu anlamaya çalışması gerekiyor.
Ama bunu yaparken de kendimizi fazla ciddiye almadan.
Çünkü kabul edelim, hayat zaten yeterince ciddi.
Arada bir kökün içinde yaşayan sayılara bakıp gülmek de lazım.